Nhóm là gì và tính chất của một nhóm
Trong toán học nhóm là tập hợp các biểu tượng, hoặc một phép tính. Cũng có khi nhóm được biểu thị bằng cặp biểu tượng, chẳng hạn (G,’). Ký tự G đại diện cho tập hợp đối tượng ‘. Ta có thể nói rằng G là tập hợp {a, b, c, …}. Dấu ‘ sau G trong (G,’) đại diện cho phép toán dùng để kết hợp các đối tượng. Phép toán nhóm đôi lúc gióng với phép nhân. Mỗi nhóm sẽ thỏa 4 đặc tính (hay tiên đề)
1. Nếu a và b thuộc G thì a.b, tức sản phẩm của a và b, cũng thuộc G.
2. Nếu a, b, và c thuộc G thì (a.b).c = a(b.c): tức là, ta có thể kết hợp a và b trước, sau đó là c, hoặc có thể kết hợp b với c trước, rồi tới a; kết quả là như nhau.
3. Mỗi nhóm có một phần tử đặc biệt gọi là phần tử định danh. Nó thường được biểu thị bằng ký tự e. Đặc tính của phần tử này đó là với mọi phần tử thuộc G thì e.a = a.e = a: tức là, dù kết hợp e với a, với a đại diện cho một phần tử bất kỳ thuộc G, thì kết quả luôn là a.
4. Cuối cùng, mọi phần tử trong G đều có nghịch đảo: nếu a là phần tử bất kỳ thuộc G thì G phải chứa một phần tử khác gọi là nghịch đảo của a, viết là a-1, với đặc tính a.a-1 = e.
Nghe có vẻ mơ hồ, nhưng để ý rằng tập hợp các số hữu tỉ dương trong phép tính nhân sẽ hợp thành một nhón: (1) nếu nhân bất kỳ hai số hữu tỉ dương nào thì kết quả là một số hữu tỉ dương khác; (2) phép nhân có tính kết hợp; (3) phần tử định danh là số 1; và (4) nghịch đảo của số hữu tỉ dương a bất kỳ là 1/a.
Có thể bạn quan tâm:
Tìm hiểu về người Duy Ngô Nhĩ (Uyghur) – Họ là ai?
Nghịch lý Epicurus (Epicurean Paradox) là gì?
Ứng dụng lý thuyết nhóm trong hình học
Khi các nhà toán học lập định nghĩa nhóm thì họ nhận thấy nhóm có mặt ở mọi nơi. Các đột phá tiếp theo giúp hiểu rõ hơn tính chất toán học trừu tượng của các nhóm, và đi sâu hơn vào các cách diễn giải “thực tế” cho nhóm. Một số ứng dụng đầu tiên của lý thuyết nhóm đến nay vẫn còn thuộc vào loại nổi tiếng nhất. Đầu thế kỷ 19, lý thuyết nhóm được dùng để giải các bài toán khó nhất trong toán học cho đến nay. Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã tìm ra công thức giống với công thức toàn phương (quadratic formula) giúp họ giải các phương trình đại số cụ thế. Khi áp dụng lý thuyết nhóm, họ phát hiện ra rằng công thức họ đang tìm kiếm không tồn tại. Khám phá này chứng minh sức mạnh của lý thuyết nhóm, nhưng đó cũng mới chỉ là khởi đầu.
Các đối xứng hình học cũng có thể đặc tả bằng nhóm. Cơ thế người có tính đối xứng hai bên, tức là nửa bên phải là phản chiếu của nửa bên trái, và ngược lại. Nếu ta gọi sự phản chiếu qua một mặt phẳng đối xứng là một biến dạng, cthì ta có thể xét nhóm biến dạng liên quan tới đối xưng hai bên. Nhóm chỉ có hai phần tử. Một biến dạng phản chiếu trọn vẹn. Đây gọi là biến dạng đồng dạng, gọi là e, và tính chất của nó được mô tả trong tiên đề 3 phía trên. Phần tử còn lại là phản chiếu qua mặt phẳng đối xưng, ta gọi là a. Lưu ý cả bốn tiên đề nêu trên đều thỏa. Chẳng hạn, nghịch đảo của a là a – hoặc viết là a.a=e – vì nếu phản chiếu hai lần qua mặt phẳng đối xứng thì ta “trở lại điểm xuất phát.” Con người được đặc tả bằng một nhóm đối xứng đơn giản. Chẳng hạn, ta sẽ cần nhóm phức tạp hơn để phản chiếu sự đối xứng của một con sao biển. Liên quan tới nhóm biến dạng của mỗi tập đối xứng ta có một phương thức hữu dụng để tìm ra những điểm tương đồng và khác biệt của những vật thể có hình dạng trông khác nhau. Lý thuyết nhóm ngày nay được sử dụng trong khoa học máy tính lý thuyết, vật lý, và hóa học để tìm hiểu cấu trúc lý thuyết thông tin, vật lý nguyên tử, và khoa học vật liệu. Lý thuyết nhóm cũng được dùng trong nhiều nghành toán học như một công cụ. Nó tạo thành một môn học riêng biệt trong lĩnh vực vật lý.
